Антон Астапкович родился 29 января 1994 года в Минске. В 2009 году в возрасте 15 лет он переехал в Москву, присоединился к молодежному проекту армейского клуба и с 2009 по 2016 годы выступал в ЦСКА-ДЮБЛ и ЦСКА-2. Спустя шесть лет, в 2015 году, Антон получил российское гражданство, а вместе с ним и право выступать за национальную сборную. 

В 2012 и 2013 годах в составе ЦСКА-2 Антон становился чемпионом России среди молодежных команд БЕКО ПБЛ. В сезонах 2014-2015 и 2015-2016 завоевал чемпионство в Единой молодежной Лиге ВТБ, а по итогам «Финала восьми» в 2016 году был признан лучшим атакующим защитником и возглавил рейтинг самых результативных игроков.  

Начиная с сезона 2014-2015, привлекался к играм основной команды ЦСКА, а уже в следующем сезоне армейский клуб подписал с ним пятилетний контракт. В 2016-м в составе армейского клуба стал чемпионом Евролиги и Единой Лиги ВТБ.

Сезон 2016-2017 Астапкович провел в «Автодоре» на правах аренды.

В сезоне 2017-2018 гг. вернулся обратно в ЦСКА и стал игроком фарм-команды армейского клуба, выступающей в Суперлиге-1.

В июне 2018 года Антон Астапкович покинул ЦСКА и подписал контракт с «Нижним Новгородом».

В составе БК «НН» дважды становился участником Матча Всех Звезд Единой Лиги ВТБ (2020 и 2021)

В мае 2021 года получил награду «Лучший перфоманс сезона». В домашнем матче против «Химок» он набрал 34 очка, 7 подборов, 2 передачи, 2 перехвата, 1 блок-шот при 41 балле за эффективность действий.

В феврале 2021 года Астапкович дебютировал в официальных матчах за основную сборную России в рамках квалификации на Евробаскет-2022