Антон родился 19 марта 2002 года в Москве. Баскетболом начал заниматься в возрасте семи лет в СШОР №56, затем, в 2015-м, перешел в спортивную школу «Глория». 

Сезон 2017-2018 Антон провел в составе команды ДЮБЛ московского клуба МБА, а уже в 2018-м присоединился к молодежной системе ЦСКА.  

В 2019 году вместе с молодежкой армейцев он принял участие в турнире Евролиги U18. Кстати, тогда же московская команда в качестве усиления пригласила Александра Чадова. Карданахишвили отметился средней статистикой в 3 очка, 2,8 подбора, 4 передачи, 1,3 перехвата.  

Последний год в ЦСКА-2 Антон провел под руководством бывшего ассистента Зорана Лукича Предрага Бадняровича, который сейчас возглавляет резервную команду армейцев. В Суперлиге разыгрывающий вышел в 21 матче и собрал среднюю статистику в 8,7 очка (54,7% двухочковых и 40,8% трехочковых), 2,1 подбора, 3,2 передачи. А в Единой молодежной Лиге ВТБ Антон завоевал чемпионский титул. В последние годы Димитрис Итудис привлекал молодого игрока к тренировкам основы, однако в заявку на сезон 2021-2022 Антон не попал.

Широкому кругу баскетбольных болельщиков Карданахишвили стал известен летом 2021 года. Главный тренер сборной России Сергей Базаревич пригласил его на просмотр, затем включил в расширенный состав на подготовку к олимпийской квалификации, а после сыгранных товарищеских матчей Карданахишвили попал в заявку на турнир в хорватском Сплите.  

В первом матче против сборной Мексики защитник провел на площадке 20 минут и отметился 6 очками, 4 передачами, 2 перехватами, 1 подбором и 1 блокшотом. Во втором на его счету оказалось 6 очков, 2 подбора, 1 передача.