Драган Апич родился 3 октября 1995 года в городе Нови-Саде. Профессиональную карьеру начал в 2012 году в клубе «Вршац», выступавшем в чемпионате Сербии. Спустя три года в его составе форвард обратил на себя внимание одной из главных команд своей страны, участника Евролиги, «Црвены Звезды». Подписав с ней контракт, Апич отправился в аренду в клуб ФМП, связанный с «Црвеной Звездой». В 2017 году «Звезда» и форвард заключили новое соглашение, однако его карьера продолжалась по большей части в ФМП. За эту команду он отыграл три сезона, став одним из главных открытий Адриатической лиги. В сезоне 2018-2019 Апич показал статистику в 21,3 очка, 7,2 подбора, 1,8 передачи и 1,6 перехвата и дважды признавался MVP месяца.

В январе 2019 года Драган впервые появился в России в составе «Локомотива-Кубань». Краснодарский клуб объявил о контракте на четыре с половиной года, добавив, что связывает с сербом свое будущее. В реальности Апич отыграл за «Локо» только год. За вторую половину сезона 2018-2019 он вышел в четырех матчах Еврокубка, показав среднюю статистику в 7,3 очка, 2,3 подбора, 1 передачу. Благодаря результату во встрече против «Скайланерс» серб был признан MVP тура с 18 очками, 6 подборами, 2 передачами, 3 перехватами и 30 баллами за эффективность действий. В Лиге ВТБ его показатели составили 4 очка и 1,7 подбора в 11 матчах.

В сезоне 2019-2020 Апич принял участие в 7 играх Лиги ВТБ и 10 Еврокубка, после чего в январе 2020 года отправился в аренду в испанский «Сан Пабло Бургос». «Для меня важно показать свои навыки, способности и получить больше опыта», — прокомментировал он тогда свой переход. Вместе с испанским клубом он дошел до полуфинала Лиги Эндеса.

В 2020-2021 Апич оказался в составе черногорской «Будучности», и уже к концу сезона к его послужному списку добавились участие в четвертьфинале Еврокубка и финале Адриатической Лиги, чемпионство Черногории и Кубок этой страны. 

В предыдущем сезоне сербский форвард вернулся в Лигу ВТБ в составе польского клуба «Зелена Гура». За 13 матчей его средняя статистика составила 13,5 очка, 6,9 подбора, 1,8 передачи. В октябре 2021 года во встрече с «Нижним Новгородом» он стал одним из лучших игроков, чуть-чуть не дотянувшись до «дабл-дабла» — 16 очков и 9 подборов.    

Драган Апич привлекался к играм сборной Сербии по разным возрастам. В 2015 году он стал чемпионом Европы U20. В 2021 году участвовал в матчах квалификации к Евробаскету-2022.