Максим Личутин родился 14 июня 2000 года. Является воспитанником московской школы «Глория» и всю свою карьеру провел в системе клуба МБА, дебютировав в его составе в возрасте 17 лет. Начиная с сезона 2017-2018 Максим выступал в Суперлиге, а последние два года совмещал игры в основе с выступлением за МБА-2 в Единой молодежной Лиге ВТБ. Всего за четыре сезона в московском клубе он провел 217 матчей, набрав 1791 очко при 786 подборах и 468 передачах. В 2020-м году установил персональный рекорд результативности — 24 очка в поединке против «Урала».   

В сезоне 2020-2021 принял участие в 29 матчах Суперлиги, где показал среднюю статистику в 10,1 очка, 3,2 подбора, 2,7 передачи. 

За вторую команду МБА в сезоне 2020-2021 Личутин отыграл 12 встреч (средняя статистика – 16,8 очка, 4,9 подбора, 4,3 передачи). Его трехочковое попадание в поединке против «Самары-2» вошло в Топ-10 хайлайтов «Финала восьми» Единой молодежной Лиги ВТБ.

В 2019 году защитник стал участником юношеского Евробаскета в Дивизионе В в составе сборной России, с которой занял четвертое место.